Честно сказать, не знаю для чего это может быть нужно, но это одна из вещей, которая если понадобится, то потом не найдёшь. Джаваскрипт, который позволяет определить запущен ли мобильный Сафари (под Айос) в приватном режиме:

function isPrivateMode() {
    var s = window.sessionStorage, key = '';

    try {
        s.setItem(key, '');
        s.removeItem(key);
    } catch (e) {
        if (e.code === DOMException.QUOTA_EXCEEDED_ERR && !s.length) {
            return true;
        } else {
            throw e;
        }
    }
    return false;
}

// приватный режим включен?
alert(isPrivateMode());

Оригинальный код основан на следующем факте — в приватном режиме мобильный Сафари запрещает доступ к sessionStorage. Я только обернул скрипт в функцию и переименовал переменные.