Физика и «Энканто»

Смотрели сегодня вечером с дочкой мультфильм «Энканто». Там есть момент, где главная героиня с трудом поднимается по очень и очень длинной лестнице. В конце она идёт еле-еле, но всё же добирается до верха, пересекает опасную пропасть, а в потом случайно роняет вниз камень. Примерно на этом моменте дочка спросила меня — насколько, по моему мнению, длинную лестницу пришлось преодолевать героине.

Девочка в ярком платье стоит на краю обрыва, глядя вниз, рядом с ней — попугай и верёвка, закреплённая в скале.

Я подумал, — тут камень падает со звуком, высоту же можно просто вычислить! Пришлось, правда, вспоминать физику.

У нас есть формула свободного падения: h = ¹⁄₂ × g × t². Время за которое звук дошёл от точки падения до нас — h / v, где v = 343 м/с. Время мы с дочкой замерили секундомером — 7,43 секунды.

Получается, 7,43 = t + h / v. Подставляем одну формулу в другую: t + (¹⁄₂ × g × t²) / v = 7,43. Упрощаем: t + gt² / 2v = 7,43. Подставляем: g ≈ 9,8 м/с² и v = 343 м/c. Получается: t + 9,8t² / (2 × 343) = 7,43. Единицы измерения я использовать не буду, мне лень.

Отсюда получается следующее квадратное уравнение: 0,01428571429×t² + t − 7,43 = 0. Его решение даёт нам два значения: -76,77439 и 6,77439. Отрицательное значение отбрасываем, оставляем только положительное.

Это время за которое упал камень с поправкой на скорость звука, которому надо было ещё до нас долететь. Теперь находим высоту по формуле h = ¹⁄₂ × gt². Если подставить все цифры, h ≈ ¹⁄₂ × 9,8 × (6,77439)², получается примерно 225 метров.

Если принять высоту этажа около трёх метров, то это высота 75-этажного дома. Судя по информации в интернете, количество ступенек между этажами обычно около 11, значит это около 825 ступеней 1650 ступеней, так как пролёта между этажами — два.

Много пришлось подниматься.

дочка

Комментарии 8

Олег № 3
Оставлю для истории. Это промпт для локальной Gemma 3 12b: бросаем камень в колодец. звук падения через 7.43 секунды. какой глубины колодец?

Для решения этой задачи нам нужно учесть два фактора: время свободного падения камня и время распространения звука от дна колодца до поверхности.

Обозначения:

`t` — общее время (7.43 с)
`t1` — время падения камня
`t2` — время распространения звука
`h` — глубина колодца
`g` — ускорение свободного падения (приближенно 9.81 м/с²)
`v` — скорость звука (приближенно 343 м/с)

Уравнения:

1. Падение камня: `h = (g * t1²) / 2`
2. Распространение звука: `h = v * t2`
3. Общее время: `t = t1 + t2`

Решение:

1. Выразим `t2` через `t` и `t1`: `t2 = t — t1` (т.е. `t2 = 7.43 — t1`)

2. Подставим `t2` во второе уравнение: `h = v * (t — t1)` (т.е. `h = 343 * (7.43 — t1)`)

3. Теперь у нас два уравнения для `h` с одной неизвестной `t1`. Приравняем их:
`(g * t1²) / 2 = v * (t — t1)`
`(9.81 * t1²) / 2 = 343 * (7.43 — t1)`
`4.905 * t1² = 2550.00 — 343 * t1`
`4.905 * t1² + 343 * t1 — 2550.00 = 0`

4. Решаем квадратное уравнение относительно `t1`. Для этого используем формулу:

`t1 = (-b ± √(b² — 4ac)) / 2a`

где a = 4.905, b = 343, c = -2550.00

`t1 = (-343 ± √(343² — 4 * 4.905 * (-2550.00))) / (2 * 4.905)`
`t1 = (-343 ± √(117649 + 50000)) / 9.81`
`t1 = (-343 ± √167649) / 9.81`
`t1 = (-343 ± 409.42) / 9.81`

Получаем два решения:

* `t1 = (-343 + 409.42) / 9.81 = 66.42 / 9.81 ≈ 6.78 с`
* `t1 = (-343 — 409.42) / 9.81 = -752.42 / 9.81 ≈ -76.8 с` (Отрицательное время не имеет физического смысла, поэтому отбрасываем)

5. Подставляем `t1` в уравнение `h = (g * t1²) / 2`:
`h = (9.81 * 6.78²) / 2 ≈ (9.81 * 46.00) / 2 ≈ 225.5 м`

Ответ: Глубина колодца приблизительно 225.5 метров.
Алексей Томин № 5
Да, давно ты по лестницам не ходил :D
11 ступенек на одном пролёте, но пролётов (почти всегда в жилых домах) два. Это если высота потолков 2.5м и расстояние между этажами 2.7..2.8м
Если шаг этажей 3м — обычно два пролёта по 12 ступенек.
Или проще — высота ступеньки 125мм примерно.
Евгений Степанищев автор № 7
Да, что-то я держал в голове пролёты, но потом они у меня вылетели из головы — ночь была, я перед сном писал ))
Andrey Rakhubovsky № 6
Очень интересно, спасибо!

Мне захотелось вывести какой-нибудь упрощенный рецепт для этой задачи, что-то вроде мнемонического правила. Например, когда надо расстояние в футах как-то визуализировать, можно прикинуть, что 10 футов -- это где-то 3 метра, примерная высота одного этажа, поэтому сто футов -- это примерно высота десятиэтажки.

Так вот, хотелось какое-то простое правило придумать для перевода времени падения камня в высоты, и ожидаемо вышло, что для «не слишком длительных» времен падения практически все время от бросания камня до возвращения звука уходит на падение камня. То есть, чтобы получить результат с какой-то приближенной точностью, можно не решать квадратное уравнение для времени падения, а сразу подставить семь секунд. Нужно еще учесть, что время, замеренное секундомером, тоже имеет какую-то конечную точность (на первом курсе физфака учат, что экспериментатор нажимает на кнопку секундомера с погрешностью 0,3 секунды), и получается не слишком плохо.

Количественно это обосновать следующим образом: для времени падения t справедливо квадратное уравнение t^2 + 2 t v/ g — T = 0, где T -- общее время (в вашем эксперименте -- 7,43 с). Его решение можно записать в виде t = v / g (  — 1 + sqrt( 1 + 2 T g / v ) ). Тут мы вынесли размерный множитель и отбросили минус перед корнем из дискриминанта, чтобы получить осмысленное положительное решение для t. В этот момент мы замечаем, что T g/v ≈ T/35 ≈ 0,2, и для квадратного корня можно использовать приближение sqrt( 1 + 2 x ) ≈ 1 + x, верное для малых x. Если так сделать, то и выходит t ≈ T. Ошибка приближения квадратного корня -- порядка x^2. К сожалению, мы из него вычитаем единицу, поэтому точность общего решения выходит ниже, но все равно приемлемая.
Евгений Степанищев автор № 8
У меня тоже была идея что-то приближённое придумать, но подумал, что ускорение всё испортит. Я имею ввиду, вычислить какой-то коэффициент, который время падения переводит в ступеньки с неплохой точностью.