В Татарстане широко распространено заблуждение, что слово «айда» неизвестно за пределами нашей республики. Думаю корень заблуждения в том, что это слово тюркского происхождения, а потому есть в татарском, и многие у нас тут его воспринимают как исключительно татарское.

Иногда приходится спорить на эту тему, но благо сейчас есть интернет, доказательств распространённости много.

В русском вообще немало тюркизмов, но большинство настолько уже обрусели, что поверить трудно, что они не исконные — нефть, капкан, кобура, тормоз, утюг и так далее. На днях, читая Гиляровского, отметил для себя неожиданный тюркизм, впрочем, не сохранившийся в русском к нашему времени:

Вкусно пахли щи, но и с говядиной ели лениво. Так и не доели, вылили. Наложили пшенной каши с салом… Я жадно ел, а другие только вид делали.
— Что это никто каши не ест? — спросил я соседа.
— Приелась. Погоди с недельку, здесь поработаешь — и тебя от еды отвалит… Я похлеще тебя ашал, как с воли пришел, а теперь и глядеть противно.

— Владимир Алексеевич Гиляровский, «Мои скитания», 1928

Интересно, что автор приводит его без примечания, видимо ожидая, что читатель его либо знает, либо выведет значение из контекста.

«Ашать» в книге «Толковый словарь живаго виликорускаго языка» В. И. Даля, М., 1863

В словаре Даля слово встречается, но с пометкой «всюду, где есть татары» и, судя по всему, сильного распространения не получило — в литературе встречается в следовых количествах.

У нас в Татарстане оно встречается в речи русских, но скорее как лингвистическая шутка, частью русского языка не ощущается. Я, например, могу сказать «gonna go ашарга?», английским как бы подчёркивая, что это я не на татарском пытаюсь говорить, а острю.