Параллельные прямые в геометрии Лобачевского

Геометрия Лобачевского (147.71КиБ)

Из Университета я выпустился, не растеряв уверенности, что параллельные прямые в геометрии Лобачевского пересекаются. Не помню, чтобы мы за пять лет обучения хоть как-то затрагивали этот вопрос (что странно для Университета, где Лобачевский шесть раз избирался ректором), а может я просто прогулял ту лекцию.

Весь мой интерес по теме я удовлетворил в школе или сразу после неё — где-то мне попалась короткая заметка, откуда я вынес два знания: заблуждение о параллельных прямых и некий визуальный образ этой геометрии — что-то вроде детского волчка.

Я далеко не один такой. Заблуждение это столь распространённое, что сегодня в музее-усадьбе Лобачевского (г. Козловка Чувашской республики) директор музея лично его повторил под немой укор портрета бывшего владельца.

Сам я узнал истину только лет пять назад — это была конференция «404», кажется мы сидели в номере Ильи Бирмана и в разговоре затронули эту тему. Меня тогда поправила Таня Бибикова, тогда ещё Танька Мисютина, за что ей спасибо, конечно.

Истина же в том, что даже в геометрии Лобачевского параллельные прямые не пересекаются, но ведут себя несколько иначе, не так как в евклидовой геометрии — у Лобачевского «через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой». А в евклидовой — только одну. Вот в чём разница.

Поделиться
Отправить
2015  
31 комментарий
PastorGL

Республика — Удмур*Т*ская, Козловка — в Чувашии, немой — укор. Бинго, три ошибки в одном предложении.

Евгений Степанищев (bolknote.ru)

Комментарий для PastorGL:

Я обычно сначала пишу, потом вычитываю и правлю. Вы ещё первый вариант не видели! Ошибки поправил, спасибо.

Егор

Евгений, а как же https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B5%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%20%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F

Там есть хорошая иллюстрация
https://fotki.yandex.ru/next/users/egordolmatov90/album/474395/view/1054362
1) евклидова геометрия
2) геометрия Римана
3) геометрия Лобачевского

Евгений Степанищев (bolknote.ru)

Комментарий для Егор:

В каком смысле как?

Евгений Степанищев (bolknote.ru)

Комментарий для Егор:

Иллюстрация хорошая, спору нет, но ничегошеньки не проясняет в данном случае же :)

vladon.ru

Ну вообще, конечно, это следует из определения :)

Параллельными как раз и называются прямые, которые не пересекаются :)

Тут могут меня поправить, мол, должны быть на одной плоскости, прямая параллельна сама себе и т. п., но суть ясна.

Евгений Степанищев (bolknote.ru)

Комментарий для vladon.ru:

Параллельными как раз и называются прямые, которые не пересекаются

Очень хорошая статья как раз про это «определение»:  http://elementy.ru/lib/430915

Леша

В геометрии Лобачевского пересекаются прямые, параллельные данной: если прямая A параллельна прямым B и C, то в евклидовой геометрии они не пересекаются, а в геометрии Лобачевского могут.

vladon.ru

Комментарий для Евгения Степанищева:

Очень хорошая статья как раз про это «определение»: http://elementy.ru/lib/430915

Таки и что в этой статье? Написано то же самое. Параллельными называются такие прямые, которые не пересекаются. Далее идёт обсуждение ложной формулировки аксиомы. Я о том и написал: то, что параллельные прямые не пересекаются (в _любых_ геометриях), прямо следует из определения параллельных прямых.

vladon.ru

Комментарий для Леша:

В геометрии Лобачевского пересекаются прямые, параллельные данной: если прямая A параллельна прямым B и C, то в евклидовой геометрии они не пересекаются, а в геометрии Лобачевского могут.

В геометрии Лобачевского могут и не пересекаться (т. е. быть параллельными друг другу), а могут и нет.

В евклидовой геометрии отношение параллельности транзитивно, и это теорема, а не аксиома.

Евгений Степанищев (bolknote.ru)

Комментарий для vladon.ru:

Таки и что в этой статье? Написано то же самое. Параллельными называются такие прямые, которые не пересекаются.

Разве? Там эта формулировка называется ложной:

Замечательно, что ложная формулировка аксиомы о параллельных (параллельные прямые не пересекаются) получила интернациональное распространение […] Подлинный же смысл аксиомы о параллельных не разрешительный, а запретительный: она утверждает не то, что нечто сделать можно, а то, что чего-то сделать нельзя, что чего-то не существует. Вот её правильная формулировка: через точку, не лежащую на заданной прямой, нельзя провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой.

Лелик

Спасибо — интересная тема.
Лучшее из популярного, что довелось читать — книга Р.Невалинна «Пространство, время, относительность». Первая глава — как раз посвящена введению в неевклидовы геометрии.
А из «сурьезных» помнится очень понравилась старая (1948) книга Костина «Основания геометрии». Как-то попалась на книжном развале — купил, конечно же, и вспомнил молодость :)

Евгений Степанищев (bolknote.ru)

Комментарий для Лелик:

Спасибо! Любопытно, попробую найти эти книги.

Alexander

А есть же ещё вторая «воображаемая геометрия» где через точку нельзя провести вообще ни одной параллельной?

Евгений Степанищев (bolknote.ru)

Комментарий для Alexander:

Ага, у Римана.

Лелик

Комментарий для Евгения Степанищева:

Если не получится — сообщите. Пришлю

Леша

Некоторое представление о геометрии Лобачевского можно представить, обладая знаниями в объеме средней школы.

Возьмем ось абсцисс, и объявим «прямыми» окружности с центрами на ней, а также перпендикулярные ей прямые. То, что получится в верней полуплоскости, -​-​ модель двумерной геометрии Лобачевского. «Прямые» пересекаются, если пересекаются соответствующие окружности или прямые, иначе они «параллельны». Довольно легко придумать конфигурацию с A||B и A||C, где B пересекается с C.

artli

Разве? Там эта формулировка называется ложной

Всё же нет. Там говорится о том, что это не аксиома параллельных прямых, но рядом же указывается, что это их определение.

Евгений Степанищев (bolknote.ru)

Комментарий для artli:

Цитату, пожалуйста!

artli

Комментарий для Евгения Степанищева:

Абсолютное большинство опрошенных отвечали так: аксиома о параллельных состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются. Получив указанный выше ответ, следует немедленно задать следующий вопрос: а что такое параллельные прямые? Скорее всего, вам ответят, что параллельными называются такие прямые, которые не пересекаются. Многие сразу же осознают: тут что-то не так, ибо не может же аксиома заключаться в том, что непересекающиеся прямые не пересекаются. Многих из тех, кто не поймёт этого сразу сам, удастся в этом убедить. Останется незначительное меньшинство, считающее, что аксиома о непересекаемости непересекающихся прямых имеет право на существование.
«А как насчет такой аксиомы: всякий зелёный предмет является зелёным?» — спрашивал я.

он спросил свою жену Шелли, в чём состоит аксиома о параллельных прямых. И получил ответ: «В том, что параллельные прямые не пересекаются». Тогда он спросил, а что такое параллельные прямые. Ответом ему был хохот: супруга профессора сразу же поняла бессмысленность своего ответа

То, что это не аксиома, а определение, явно не говорится, но подразумевается.

Евгений Степанищев (bolknote.ru)

Комментарий для artli:

Не обратил внимание на различие между «определение аксиомы» и «определение параллельных прямых».

LaFut

как я помню это все время путают с геометрий римана, там невозможно вообще провести непересекающиеся прямые

navuho@gmail.com

А что такое вообще «прямая» в искривленном пространстве ? Есть определение «геодезическая линия»,
но это существенно более обширное понятие, чем прямая. То есть, прямая есть частный случай геодезической.
И аксиомы о прямых неприменимы в общем случае к геодезическим линиям. Например, через две точки
может проходить более одной геод. линии, геод. линии могут быть замкнутыми и тд.
Мне кажется, сама постановка проблемы для пространств и поверхностей высших измерений,
использую плоскую аксиоматику, некорректна

Евгений Степанищев (bolknote.ru)

Комментарий для navuho@gmail.com:

Плоскость искривляется в третьем измерении, а рассматривается два, так что всё ок. Посмотрите как выводится прямая у Лобачевского, всё в сети есть, я не читал, не могу помочь.

SiMM

Комментарий для Евгения Степанищева:

https://fotki.yandex.ru/users/bolknote/album/162469/

«Отказано в доступе. Возможно, вам стоит зайти под другим пользователем.»

Евгений Степанищев (bolknote.ru)

Комментарий для SiMM:

Альбом открытый — у меня в анонимной вкладке открывается.

SiMM

Комментарий для Евгения Степанищева:

Альбом открытый — у меня в анонимной вкладке открывается.

Дикость какая-то — в анонимной вкладке открывается, а не в анонимной — нет (при этом авторизован на яндексе) — возможно косяк яндекса.

Евгений Степанищев (bolknote.ru)

Комментарий для SiMM:

Да, я узнал у бывших коллег, такое бывает, если используется ПДД (Почта Для Доменов).

SiMM

Комментарий для Евгения Степанищева:

Починить не планируют? Всё таки дикость какая-то, когда контент, доступный анонимам, не доступен остальным.

Евгений Степанищев (bolknote.ru)

Комментарий для SiMM:

Я так и не понял — чинят или рукой махнули.

SiMM

Комментарий для Евгения Степанищева:

Махнули, видимо :( С я.диском тоже, видимо, есть похожий косяк.

Популярное