Параллельные прямые в геометрии Лобачевского
Из Университета я выпустился, не растеряв уверенности, что параллельные прямые в геометрии Лобачевского пересекаются. Не помню, чтобы мы за пять лет обучения хоть
Весь мой интерес по теме я удовлетворил в школе или сразу после неё —
Я далеко не один такой. Заблуждение это столь распространённое, что сегодня в
Сам я узнал истину только лет пять назад — это была конференция «404», кажется мы сидели в номере Ильи Бирмана и в разговоре затронули эту тему. Меня тогда поправила Таня Бибикова, тогда ещё Танька Мисютина, за что ей спасибо, конечно.
Истина же в том, что даже в геометрии Лобачевского параллельные прямые не пересекаются, но ведут себя несколько иначе, не так как в евклидовой геометрии — у Лобачевского «через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой». А в евклидовой — только одну. Вот в чём разница.
Комментарии 31
Там есть хорошая иллюстрация
https://fotki.yandex.ru/next/users/egordol … ew/1054362
1) евклидова геометрия
2) геометрия Римана
3) геометрия Лобачевского
Параллельными как раз и называются прямые, которые не пересекаются :)
Тут могут меня поправить, мол, должны быть на одной плоскости, прямая параллельна сама себе и т.п., но суть ясна.
Очень хорошая статья как раз про это «определение»: http://elementy.ru/lib/430915
В геометрии Лобачевского могут и не пересекаться (т.е. быть параллельными друг другу), а могут и нет.
В евклидовой геометрии отношение параллельности транзитивно, и это теорема, а не аксиома.
Комментарий для Евгения Степанищева:
Таки и что в этой статье? Написано то же самое. Параллельными называются такие прямые, которые не пересекаются. Далее идёт обсуждение ложной формулировки аксиомы. Я о том и написал: то, что параллельные прямые не пересекаются (в _любых_ геометриях), прямо следует из определения параллельных прямых.
Комментарий для vladon.ru:
Разве? Там эта формулировка называется ложной:
Лучшее из популярного, что довелось читать — книга Р.Невалинна «Пространство, время, относительность». Первая глава — как раз посвящена введению в неевклидовы геометрии.
А из «сурьезных» помнится очень понравилась старая (1948) книга Костина «Основания геометрии».
Если не получится — сообщите. Пришлю
Возьмем ось абсцисс, и объявим «прямыми» окружности с центрами на ней, а также перпендикулярные ей прямые. То, что получится в верней полуплоскости, -- модель двумерной геометрии Лобачевского. «Прямые» пересекаются, если пересекаются соответствующие окружности или прямые, иначе они «параллельны». Довольно легко придумать конфигурацию с A||B и A||C, где B пересекается с C.
Всё же нет. Там говорится о том, что это не аксиома параллельных прямых, но рядом же указывается, что это их определение.
Комментарий для Евгения Степанищева:
То, что это не аксиома, а определение, явно не говорится, но подразумевается.
Не обратил внимание на различие между «определение аксиомы» и «определение параллельных прямых».
но это существенно более обширное понятие, чем прямая. То есть, прямая есть частный случай геодезической.
И аксиомы о прямых неприменимы в общем случае к геодезическим линиям. Например, через две точки
может проходить более одной геод. линии, геод. линии могут быть замкнутыми и тд.
Мне кажется, сама постановка проблемы для пространств и поверхностей высших измерений,
использую плоскую аксиоматику, некорректна
Комментарий для Евгения Степанищева:
«Отказано в доступе. Возможно, вам стоит зайти под другим пользователем.»
Комментарий для Евгения Степанищева:
Дикостькакая-то — в анонимной вкладке открывается, а не в анонимной — нет (при этом авторизован на яндексе) — возможно косяк яндекса.
Да, я узнал у бывших коллег, такое бывает, если используется ПДД (Почта Для Доменов).
Починить не планируют? Всё таки дикость
Я так и не понял — чинят или рукой махнули.
Махнули, видимо :( С я.диском тоже, видимо, есть похожий косяк.