Физика и «Энканто»
Смотрели сегодня вечером с дочкой мультфильм «Энканто». Там есть момент, где главная героиня с трудом поднимается по очень и очень длинной лестнице. В конце она идёт еле-еле, но всё же добирается до верха, пересекает опасную пропасть, а в потом случайно роняет вниз камень. Примерно на этом моменте дочка спросила меня — насколько, по моему мнению, длинную лестницу пришлось преодолевать героине.
Я подумал, — тут камень падает со звуком, высоту же можно просто вычислить! Пришлось, правда, вспоминать физику.
У нас есть формула свободного падения: h = ¹⁄₂ × g × t². Время за которое звук дошёл от точки падения до нас — h / v, где v = 343 м/с. Время мы с дочкой замерили секундомером — 7,43 секунды.
Получается, 7,43 = t + h / v. Подставляем одну формулу в другую: t + (¹⁄₂ × g × t²) / v = 7,43. Упрощаем: t + gt² / 2v = 7,43. Подставляем: g ≈ 9,8 м/с² и v = 343 м/c. Получается: t + 9,8t² / (2 × 343) = 7,43. Единицы измерения я использовать не буду, мне лень.
Отсюда получается следующее квадратное уравнение: 0,01428571429×t² + t − 7,43 = 0. Его решение даёт нам два значения: -76,77439 и 6,77439. Отрицательное значение отбрасываем, оставляем только положительное.
Это время за которое упал камень с поправкой на скорость звука, которому надо было ещё до нас долететь. Теперь находим высоту по формуле h = ¹⁄₂ × gt². Если подставить все цифры, h ≈ ¹⁄₂ × 9,8 × (6,77439)², получается примерно 225 метров.
Если принять высоту этажа около трёх метров, то это высота 75-этажного дома. Судя по информации в интернете, количество ступенек между этажами обычно около 11, значит это около 825 ступеней 1650 ступеней, так как пролёта между этажами — два.
Много пришлось подниматься.
Оставлю для истории. Это промпт для локальной Gemma 3 12b: бросаем камень в колодец. звук падения через 7.43 секунды. какой глубины колодец?
Для решения этой задачи нам нужно учесть два фактора: время свободного падения камня и время распространения звука от дна колодца до поверхности.
Обозначения:
Уравнения:
Решение:
`(g * t1²) / 2 = v * (t — t1)`
`(9.81 * t1²) / 2 = 343 * (7.43 — t1)`
`4.905 * t1² = 2550.00 — 343 * t1`
`4.905 * t1² + 343 * t1 — 2550.00 = 0`
`t1 = (-b ± √(b² — 4ac)) / 2a`
где a = 4.905, b = 343, c = -2550.00
`t1 = (-343 ± √(343² — 4 * 4.905 * (-2550.00))) / (2 * 4.905)`
`t1 = (-343 ± √(117649 + 50000)) / 9.81`
`t1 = (-343 ± √167649) / 9.81`
`t1 = (-343 ± 409.42) / 9.81`
Получаем два решения:
`h = (9.81 * 6.78²) / 2 ≈ (9.81 * 46.00) / 2 ≈ 225.5 м`
Ответ: Глубина колодца приблизительно 225.5 метров.
Для сети 12B очень круто!
Да, давно ты по лестницам не ходил :D
11 ступенек на одном пролёте, но пролётов (почти всегда в жилых домах) два. Это если высота потолков 2.5м и расстояние между этажами 2.7..2.8м
Если шаг этажей 3м — обычно два пролёта по 12 ступенек.
Или проще — высота ступеньки 125мм примерно.
Да, что-то я держал в голове пролёты, но потом они у меня вылетели из головы — ночь была, я перед сном писал ))
Очень интересно, спасибо!
Мне захотелось вывести какой-нибудь упрощенный рецепт для этой задачи, что-то вроде мнемонического правила. Например, когда надо расстояние в футах как-то визуализировать, можно прикинуть, что 10 футов — это где-то 3 метра, примерная высота одного этажа, поэтому сто футов — это примерно высота десятиэтажки.
Так вот, хотелось какое-то простое правило придумать для перевода времени падения камня в высоты, и ожидаемо вышло, что для «не слишком длительных» времен падения практически все время от бросания камня до возвращения звука уходит на падение камня. То есть, чтобы получить результат с какой-то приближенной точностью, можно не решать квадратное уравнение для времени падения, а сразу подставить семь секунд. Нужно еще учесть, что время, замеренное секундомером, тоже имеет какую-то конечную точность (на первом курсе физфака учат, что экспериментатор нажимает на кнопку секундомера с погрешностью 0,3 секунды), и получается не слишком плохо.
Количественно это обосновать следующим образом: для времени падения t справедливо квадратное уравнение t^2 + 2 t v/ g — T = 0, где T — общее время (в вашем эксперименте — 7,43 с). Его решение можно записать в виде t = v / g ( — 1 + sqrt( 1 + 2 T g / v ) ). Тут мы вынесли размерный множитель и отбросили минус перед корнем из дискриминанта, чтобы получить осмысленное положительное решение для t. В этот момент мы замечаем, что T g/v ≈ T/35 ≈ 0,2, и для квадратного корня можно использовать приближение sqrt( 1 + 2 x ) ≈ 1 + x, верное для малых x. Если так сделать, то и выходит t ≈ T. Ошибка приближения квадратного корня — порядка x^2. К сожалению, мы из него вычитаем единицу, поэтому точность общего решения выходит ниже, но все равно приемлемая.
У меня тоже была идея что-то приближённое придумать, но подумал, что ускорение всё испортит. Я имею ввиду, вычислить какой-то коэффициент, который время падения переводит в ступеньки с неплохой точностью.