Параллельные прямые в геометрии Лобачевского

Геометрия Лобачевского (147.71КиБ) Из Университета я выпустился, не растеряв уверенности, что параллельные прямые в геометрии Лобачевского пересекаются. Не помню, чтобы мы за пять лет обучения хоть как-то затрагивали этот вопрос (что странно для Университета, где Лобачевский шесть раз избирался ректором), а может я просто прогулял ту лекцию.

Весь мой интерес по теме я удовлетворил в школе или сразу после неё — где-то мне попалась короткая заметка, откуда я вынес два знания: заблуждение о параллельных прямых и некий визуальный образ этой геометрии — что-то вроде детского волчка.

Я далеко не один такой. Заблуждение это столь распространённое, что сегодня в музее-усадьбе Лобачевского (г. Козловка Чувашской республики) директор музея лично его повторил под немой укор портрета бывшего владельца.

Сам я узнал истину только лет пять назад — это была конференция «404», кажется мы сидели в номере Ильи Бирмана и в разговоре затронули эту тему. Меня тогда поправила Таня Бибикова, тогда ещё Танька Мисютина, за что ей спасибо, конечно.

Истина же в том, что даже в геометрии Лобачевского параллельные прямые не пересекаются, но ведут себя несколько иначе, не так как в евклидовой геометрии — у Лобачевского «через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой». А в евклидовой — только одну. Вот в чём разница.
1 февраля 2015 18:18

PastorGL (инкогнито)
1 февраля 2015, 18:24

Республика — Удмур*Т*ская, Козловка — в Чувашии, немой — укор. Бинго, три ошибки в одном предложении.

bolknote.ru (bolknote.ru)
1 февраля 2015, 18:27, ответ предназначен PastorGL

Я обычно сначала пишу, потом вычитываю и правлю. Вы ещё первый вариант не видели! Ошибки поправил, спасибо.

Егор (инкогнито)
1 февраля 2015, 19:01

Евгений, а как же https://ru.wikipedia.org/wiki/Неевклидова%20геометрия

Там есть хорошая иллюстрация
https://fotki.yandex.ru/next/users/egordolmatov90/album/474395/view/1054362
1) евклидова геометрия
2) геометрия Римана
3) геометрия Лобачевского

bolknote.ru (bolknote.ru)
1 февраля 2015, 19:05, ответ предназначен Егору

В каком смысле как?

bolknote.ru (bolknote.ru)
1 февраля 2015, 19:15, ответ предназначен Егору

Иллюстрация хорошая, спору нет, но ничегошеньки не проясняет в данном случае же :)

vladon.ru (инкогнито)
1 февраля 2015, 19:32

Ну вообще, конечно, это следует из определения :)

Параллельными как раз и называются прямые, которые не пересекаются :)

Тут могут меня поправить, мол, должны быть на одной плоскости, прямая параллельна сама себе и т.п., но суть ясна.

bolknote.ru (bolknote.ru)
1 февраля 2015, 19:39, ответ предназначен vladon.ru

Параллельными как раз и называются прямые, которые не пересекаются
Очень хорошая статья как раз про это «определение»: http://elementy.ru/lib/430915

Леша (инкогнито)
2 февраля 2015, 00:34

В геометрии Лобачевского пересекаются прямые, параллельные данной: если прямая A параллельна прямым B и C, то в евклидовой геометрии они не пересекаются, а в геометрии Лобачевского могут.

vladon.ru (инкогнито)
2 февраля 2015, 01:35, ответ предназначен bolknote.ru:

Очень хорошая статья как раз про это «определение»: http://elementy.ru/lib/430915
Таки и что в этой статье? Написано то же самое. Параллельными называются такие прямые, которые не пересекаются. Далее идёт обсуждение ложной формулировки аксиомы. Я о том и написал: то, что параллельные прямые не пересекаются (в _любых_ геометриях), прямо следует из определения параллельных прямых.

vladon.ru (инкогнито)
2 февраля 2015, 01:38, ответ предназначен Леше

В геометрии Лобачевского пересекаются прямые, параллельные данной: если прямая A параллельна прямым B и C, то в евклидовой геометрии они не пересекаются, а в геометрии Лобачевского могут.
В геометрии Лобачевского могут и не пересекаться (т.е. быть параллельными друг другу), а могут и нет.

В евклидовой геометрии отношение параллельности транзитивно, и это теорема, а не аксиома.

bolknote.ru (bolknote.ru)
2 февраля 2015, 07:12, ответ предназначен vladon.ru

Таки и что в этой статье? Написано то же самое. Параллельными называются такие прямые, которые не пересекаются.
Разве? Там эта формулировка называется ложной:
Замечательно, что *ложная* формулировка аксиомы о параллельных (параллельные прямые не пересекаются) получила интернациональное распространение […] Подлинный же смысл аксиомы о параллельных не разрешительный, а запретительный: она утверждает не то, что нечто сделать можно, а то, что чего-то сделать нельзя, что чего-то не существует. Вот её правильная формулировка: через точку, не лежащую на заданной прямой, нельзя провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой.

Лелик (инкогнито)
2 февраля 2015, 09:31

Спасибо - интересная тема.
Лучшее из популярного, что довелось читать - книга Р.Невалинна "Пространство, время, относительность". Первая глава - как раз посвящена введению в неевклидовы геометрии.
А из "сурьезных" помнится очень понравилась старая (1948) книга Костина "Основания геометрии". Как-то попалась на книжном развале - купил, конечно же, и вспомнил молодость :)

bolknote.ru (bolknote.ru)
2 февраля 2015, 10:30, ответ предназначен Лелику

Спасибо! Любопытно, попробую найти эти книги.

Alexander (инкогнито)
2 февраля 2015, 11:12

А есть же ещё вторая "воображаемая геометрия" где через точку нельзя провести вообще ни одной параллельной?

bolknote.ru (bolknote.ru)
2 февраля 2015, 11:28, ответ предназначен Alexander

Ага, у Римана.

Лелик (инкогнито)
2 февраля 2015, 12:50, ответ предназначен bolknote.ru:

Если не получится - сообщите. Пришлю

Леша (инкогнито)
2 февраля 2015, 17:23

Некоторое представление о геометрии Лобачевского можно представить, обладая знаниями в объеме средней школы.

Возьмем ось абсцисс, и объявим "прямыми" окружности с центрами на ней, а также перпендикулярные ей прямые. То, что получится в верней полуплоскости, -- модель двумерной геометрии Лобачевского. "Прямые" пересекаются, если пересекаются соответствующие окружности или прямые, иначе они "параллельны". Довольно легко придумать конфигурацию с A||B и A||C, где B пересекается с C.

artli (инкогнито)
3 февраля 2015, 02:18

Разве? Там эта формулировка называется ложной
Всё же нет. Там говорится о том, что это не аксиома параллельных прямых, но рядом же указывается, что это их определение.

bolknote.ru (bolknote.ru)
3 февраля 2015, 07:06, ответ предназначен artli

Цитату, пожалуйста!

artli (инкогнито)
3 февраля 2015, 13:41, ответ предназначен bolknote.ru:

Абсолютное большинство опрошенных отвечали так: аксиома о параллельных состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются. Получив указанный выше ответ, следует немедленно задать следующий вопрос: а что такое параллельные прямые? Скорее всего, вам ответят, что параллельными называются такие прямые, которые не пересекаются. Многие сразу же осознают: тут что-то не так, ибо не может же аксиома заключаться в том, что непересекающиеся прямые не пересекаются. Многих из тех, кто не поймёт этого сразу сам, удастся в этом убедить. Останется незначительное меньшинство, считающее, что аксиома о непересекаемости непересекающихся прямых имеет право на существование.
«А как насчет такой аксиомы: всякий зелёный предмет является зелёным?» — спрашивал я.
он спросил свою жену Шелли, в чём состоит аксиома о параллельных прямых. И получил ответ: «В том, что параллельные прямые не пересекаются». Тогда он спросил, а что такое параллельные прямые. Ответом ему был хохот: супруга профессора сразу же поняла бессмысленность своего ответа
То, что это не аксиома, а определение, явно не говорится, но подразумевается.

bolknote.ru (bolknote.ru)
3 февраля 2015, 20:43, ответ предназначен artli

Не обратил внимание на различие между «определение аксиомы» и «определение параллельных прямых».

LaFut (инкогнито)
4 февраля 2015, 21:41

как я помню это все время путают с геометрий римана, там невозможно вообще провести непересекающиеся прямые

navuho@gmail.com (инкогнито)
4 февраля 2015, 23:39

А что такое вообще "прямая" в искривленном пространстве ? Есть определение "геодезическая линия",
но это существенно более обширное понятие, чем прямая. То есть, прямая есть частный случай геодезической.
И аксиомы о прямых неприменимы в общем случае к геодезическим линиям. Например, через две точки
может проходить более одной геод. линии, геод. линии могут быть замкнутыми и тд.
Мне кажется, сама постановка проблемы для пространств и поверхностей высших измерений,
использую плоскую аксиоматику, некорректна

bolknote.ru (bolknote.ru)
5 февраля 2015, 09:11, ответ предназначен navuho@gmail.com

Плоскость искривляется в третьем измерении, а рассматривается два, так что всё ок. Посмотрите как выводится прямая у Лобачевского, всё в сети есть, я не читал, не могу помочь.

SiMM (инкогнито)
31 марта 2017, 22:34, ответ предназначен bolknote.ru:

https://fotki.yandex.ru/users/bolknote/album/162469/
«Отказано в доступе. Возможно, вам стоит зайти под другим пользователем.»

bolknote.ru (bolknote.ru)
1 апреля 2017, 09:14, ответ предназначен SiMM

Альбом открытый — у меня в анонимной вкладке открывается.

SiMM (инкогнито)
13 апреля 2017, 10:29, ответ предназначен bolknote.ru:

Альбом открытый — у меня в анонимной вкладке открывается.
Дикость какая-то – в анонимной вкладке открывается, а не в анонимной – нет (при этом авторизован на яндексе) – возможно косяк яндекса.

bolknote.ru (bolknote.ru)
13 апреля 2017, 20:34, ответ предназначен SiMM

Да, я узнал у бывших коллег, такое бывает, если используется ПДД (Почта Для Доменов).

SiMM (инкогнито)
16 апреля 2017, 00:20, ответ предназначен bolknote.ru:

Починить не планируют? Всё таки дикость какая-то, когда контент, доступный анонимам, не доступен остальным.

bolknote.ru (bolknote.ru)
17 апреля 2017, 15:35, ответ предназначен SiMM

Я так и не понял — чинят или рукой махнули.

SiMM (инкогнито)
1 мая 2017, 22:21, ответ предназначен bolknote.ru:

Махнули, видимо :( С я.диском тоже, видимо, есть похожий косяк.

Ваше имя или адрес блога (можно OpenID):

Текст вашего комментария, не HTML:

Кому бы вы хотели ответить (или кликните на его аватару)